北京市顺义区2023届高三下学期高考模拟（二模）数学试题(含解析）

C．

D． 2．（2023·北京顺义·统考二模）若圆与y轴交于A，B两点，则（????） A．2

B．4

C．

D． 3．（2023·北京顺义·统考二模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（????） A．

B．

C．

D． 4．（2023·北京顺义·统考二模）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（????） A．1

B．2

C．4

D．8 5．（2023·北京顺义·统考二模）已知函数，则不等式的解集是（????） A．

B．

C．

D． 6．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在矩形中，，点P为的中点，则（????） A．0

B． C．

D． 7．（2023·北京顺义·统考二模）在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（????） A．有且仅有1条

B．有且仅有2条

C．有且仅有3条

D．有无数条 8．（2023·北京顺义·统考二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则（????） A．1

B．

C．

D．0 9．（2023·北京顺义·统考二模）已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（????） A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件 10．（2023·北京顺义·统考二模）2022年足球世界杯在卡塔尔举行，32支参赛队通过抽签分为八个小组．每个小组分别有4支球队，共打6场比赛，每支球队都必须和同组其他3支球队进行且只进行一场比赛．小组赛积分规则为：胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分，每个小组积分前两名的球队出线．若小组赛结束后，同一小组的甲、乙两支球队分别积6分和5分，则（????） A．甲、乙两队一定都出线

B．甲队一定出线，乙队可能未出线 C．甲、乙两队都可能未出线

D．甲、乙两支球队至少有一支未出线 二、填空题 11．（2023·北京顺义·统考二模）已知复数,则_____． 12．（2023·北京顺义·统考二模）在的展开式中，的系数为_________． 13．（2023·北京顺义·统考二模）能说明“若对任意的都成立，则在上单调递增”为假命题的一个函数是_________． 14．（2023·北京顺义·统考二模）已知，均为正数，并且，给出下列四个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中小于2的数最多只有两个； ③中最大的数不小于2022； ④中最小的数不小于． 其中所有正确结论的序号为_________． 三、解答题 15．（2023·北京顺义·统考二模）在中，． (1)求b； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：； 条件②：边上中线的长为； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F． (1)求证：点F为的中点； (2)若点G为棱上一点，且，求点G到平面的距离． 17．（2023·北京顺义·统考二模）精彩纷呈的春节档电影丰富了人们的节日文化生活，春节小长假期间大批观众走进电影院．某电影院统计了2023年正月初一放映的四部影片的上座率，整理得到如下数据： 影片

排片场次

上座率（％） A

12

36??42??45??50??57??62??68??73??80??85??88??94 B

10

35??40??46??52??65??65??78??84??90??95 C

9

35??38??47??55??60??65??73??82??85 D

9

34??37??46??54??60??64??72??81??84 (1)从以上所有排片场次中随机选取1场，求该场的上座率大于70%的概率； (2)假设每场影片的上座率相互独立．从影片A，B，C的以上排片场次中各随机抽取1场，求这3场中至少有2场上座率大于70%的概率； (3)将影片C和影片D在该电影院正月初一的上座率的方差分别记为和，试比较和的大小．（结论不要求证明） 18．（2023·北京顺义·统考二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在 上的最大值和最小值； (3)设 ，证明：对任意的，有． 19．（2023·北京顺义·统考二模）已知椭圆过点和，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值． 20．（2023·北京顺义·统考二模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 四、双空题 21．（2023·北京顺义·统考二模）设等比数列的公比为,其前n和为,且,则_________;_________． 参考答案： 1．A 【分析】根据并集的运算，计算即可得出答案. 【详解】根据并集的运算可知，. 故选：A. 2．D 【分析】直接联立方程求A、B坐标即可. 【详解】联立得，故A、B坐标为，即. 故选：D 3．B 【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，且满足，所以其为偶函数， 在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意； 对于B，设，函数的定义域为R， 且满足，所以函数为偶函数， 当时，为单调递增函数，故B符合题意； 对于C，函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又函数在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 4．C 【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，由条件列方程求. 【详解】抛物线的准线方程为， 双曲线的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为， 因为抛物线的准线过双曲线的一个焦点， 所以， 所以， 故选：C. 5．C 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，结合函数值，作出函数的图象，数形结合，即可求得答案. 【详解】由可得定义域为， 则，且在上单调递减， 令， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 当时，趋近于负无穷小，故， 且， 故可作出函数的图象如图： 由此可知不等式的解集是， 故选：C 6．B 【分析】利用向量的线性加减法法则运算与数量积公式运算即可求解. 【详解】 \ 故选：B. 7．D 【分析】过点作，垂足为，连接，当，高度一样，即时，一定有，进而求解. 【详解】过点作，垂足为，连接， 当，高度一样，即时，一定有，理由如下： 在正方体中，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，且平面， 所以，即. 所以当，高度一样，即时，一定有， 此时满足条件的直线有无数条. 故选：D. 8．B 【分析】根据已知条件及两角差的余弦公式，结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】因为，且角与角的终边关于轴对称， ，. 所以. 故选：B. 9．A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为是无穷等差数列，若为递增数列， 所以公差， 令，解得， 表示取整函数， 所以存在正整数，有，故充分； 设数列为5，3，1，-1，…，满足，但， 则数列是递减数列，故不必要， 故选：A 10．A 【分析】根据甲、乙两支球队的分数确定这两支球队的得分情况，再结合另外二队的比赛情况分类讨论进行判断即可. 【详解】设同一组的另两支球队分别为丙、丁， 因为每支球队要进行三场比赛，甲、乙两支球队分别积6分和5分， 所以甲球队二胜一负，乙球队一胜二平，显然乙球与丙、丁两支球队平，胜甲， 甲球队胜丙、丁，此时丙丁两队一负一平，积分1分， 若丙胜丁，最后丙得4分，丁得1分， 若丙与丁平，最后丙丁都得2分， 若丁胜丙，最后丙得1分，丁得4分， 因为每个小组积分前两名的球队出线． 所以甲、乙两队一定都出线， 故选：A 11． 【分析】根据复数的计算及模长意义即可求出． 【详解】复数z，则|z|， 故答案为． 【点睛】本题主要考查复数的计算及模长意义，属于基础题． 12． 【分析】利用二项展开式求通项，再求对应项的系数即可. 【详解】设展开式中通项为： 令，则. 故答案为： 13．（答案不唯一） 【分析】举例，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，则对任意的都成立， 但在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上不是增函数. 故答案为：. 14．①②③ 【分析】对于①②③，用反证法可以证明；对于④，举出反例说明其错误. 【详解】对于①,假设存在两个小于1的正数,不妨设, 则,则, 这与矛盾, 故中小于1的数最多只有一个, ①正确; 对于②, 假设存在3个小于2的正数,不妨设, 则, 则，这与矛盾, 故中小于2的数最多只有两个, ②正确; 对于③,假设, 则, 则与矛盾, 故中最大的数不小于2022, ③正确; 对于④,不妨假设中最小数为,取, 则取, 则, 即说明中最小的数可以小于,④错误, 故答案为:①②③ 【点睛】方法点睛：对于关于最多或最少类命题的解决方法，一般可采用反证法；对于多个数中的最大数或最小数的范围判断问题，可以用反证法说明反面不成立，证明原命题成立，也可以举反例说明命题不成立. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）根据题目要求可知只能选择条件②或③，根据余弦定理求解，即可根据三角函数的性质求解正弦，进而由面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 在△中，由正弦定理，可得：， 又因为， 所以. （2）选择条件①；由，，以及余弦定理得，该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件① 选择条件② 设边上的中线为，则，， 在△中，由余弦定理得： ， 因为，，所以， 所以△的面积为. 选择条件③ 方法1： 由题设，因为，所以， 因为，所以 因为，所以，所以， 由余弦定理可得：， 整理得，解得（舍）， 因为，，所以， 所以△的面积为. 方法2：由题设，因为，所以， 因为，所以 在△中，因为，所以，即，所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以△的面积为. 方法3：因为且， 所以或， 因为，

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