《45 函数的应用（二）》教学课件02EY

f( x) 的 零点． 函数 y = f( x) 的零点就是方程 f( x) = 0 的实数解，也就是函数 y = f( x) 的 图象与 x 轴的公共点的横坐标． 方程 f( x) = 0 有实数解  函数 y = f( x) 有零点  函数 y = f( x) 的图象与 x 轴有公共点． 函数的零点与方程的解的关系： 对于二次函数 f( x) = x2  2x  3 ，观察它的图象，发 现它在区间[ 2， 4] 上有零点．这时，函数图象与 x 轴有什 么关系？在区间[ 2，0] 上是否也有这种关系？你认为应 如何利用函数 f( x) 的取值规律来刻画这种关系？ 函数图象连续不断，并且“穿过” x 轴． f( 2) f( 4)＜0 ， f( - 2) f( 0)＜0 y 2 1 -2 -1 O -1 1

2

3

4

x -2 -3 -4 如果函数 y =

f( x) 在区间[ a，b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f( a) f( b)＜0 ，那么，函数 y =

f( x) 在区间( a，b) 内至少有一个零点，即存在 c ( a，b)，使得 f( c) = 0 ，这个c 也就是方程 f( x) = 0 的解． 函数零点存在定理： 问题 1：条件“连续不断”可以去掉吗？ 答：不可以． y O

a

b x 函数零点存在定理： 问题 2：如果函数 y =

f( x) 在区间( a，b) 内存在零点， a b O x 如果函数 y =

f( x) 在区间[ a，b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f( a) f( b)＜0 ，那么，函数 y =

f( x) 在区间( a，b) 内至少有一个零点，即存在 c ( a，b)，使得 f( c) = 0 ，这个c 也就是方程 f( x) = 0 的解．y 是否有 f( a) f

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