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2.借助切线方程的求解,提升学生的数学运算核心素养. 情境导入 下雨天,当我们将雨伞转动时,伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体(看作质点)做曲线运动时,运动方向在不停地变化,其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向,我们可以利用导数研究曲线的切线问题. 水滴沿伞边切线飞出 2019年国际田联钻石联赛伦敦站男子200米比赛,中国选手谢震业以19秒88夺冠,这不仅刷新了全国纪录,还创造了新的亚洲纪录.赛后各国教练都在研究他的弯道技术,通过回放录像分析其弯道时的运动方向.这需要求运动曲线在任一点的切线.怎样求曲线的切线? 一、导数的概念 1.函数的平均变化率 对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx),这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值 ,即 =______________________叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. y x y x 2.函数在x=x0处的导数 如果当Δx→0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(或瞬时变化率),记作f′(x0)或y′|x=x0, y x y x 对导数概念的再理解 (1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在; (2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关; (3)导数的实质是一个极限值. 1.已知f(x)=2x+1,则f′(1)=________. 解析: lim x→0 4x f(x0+x)-f(x0+x-4x) =4 二、导数的几何意义 导数f '(x)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映了函数y
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