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图形语言
符号语言
坐标语言 加法与减法
+=-=
记=(x1,y1),=(x1,y2)则+=(x1+x2,y1+y2)-=(x2-x1,y2-y1)
+=
实数与向量 的乘积
=λ λ∈R
记=(x,y)则λ=(λx,λy) 两个向量 的数量积
·=||||cos<,>
记=(x1,y1), =(x2,y2)则·=x1x2+y1y2 2.重要定理、公式 (1)向量共线定理:如果有一个实数使那么与是共线向量;反之,如果是共线向量,那么有且只有一个实数,使。 (2)平面向量基本定理;如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1+λ2。 (3)两个向量平行 :设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥ x1y2-x2y1=0 (4)两个向量垂直:设=(x1,y1), =(x2,y2),则⊥x1x2+y1y2=0 (5)线段定比分点公式: 设, 则 设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 2、
例题讲解 1、平面向量已知∥,,求及夹角。 2、已知向量= ()和=(), . (1)求 的最大值; (2)若=,求的值. 3、已知、、三点的坐标分别为、、,, (1)若,求角的值; (2)若,求的值。 3、
巩固练习 1、若为正方形,是的中点,且,则= ( ) 2、已知且,则的值为 ( ) 3、△OAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在 ( ) A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上 C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上 4、已知点C在线段AB的延长线上,且等于
(
) A.3
B.
C.
D. 5、设=(1,),=(0,1),则满足条件0≤·≤1,0≤·≤1的动点P的变动范围(图中阴影部分,含边界)是
( ) 6、已知向量,,若与的夹角为钝角,则的取值范围是 ( ) . . . . 7、.已知向量,且A,B,C三点共线,则k=_________. 8、已知与的夹角为,若则= . 9、若对n个向量,存在n个不全为零的实数k1,k2,…,kn,使得=成立,则称向量为“线性相关”.依次规定,请你求出一组实数k1,k2,k3的值,它能说明=(1,0), =(1,-1), =(2,2) “线性相关”:k1,k2,k3的值分别是 , , . 10、已知则的坐标是 . 11、设平面内的向量点是直线上的一个动点,求当取最小值时,的坐标及的余弦值。 12、设向量,,,,,与的夹角为,与的夹角为,且,求的值。 参考答案 二、1、1、∥ , 2、 (1) . == ∵,∴,∴. ∴max=. (2)由已知,得 . = =. 3、(1) 由得 又 (2)由,得 又= 所以,=。 三、1—6 B D A D A A 7、. 8、 9、只要满足即可 10、(5,2)或(-5,-2) 11、设 点在直线上,与共线,而 即 有. 故当且仅当时,取得最小值,此时 于是 12、 D C B A 1 1 y x O 2 1 1 y x O 2 1 1 y x O 2 1 1 y x O 2
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