专题04（大题专练）：函数与导数综合问题（解析版）-2021年新高考数学二轮复习常规题型专练

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;

(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.

解：(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,

所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]·ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex(x∈R).

f'(1)=(1-a)e.

由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.

此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.

(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.

若a>12,则当x∈1a,2时,f'(x)<0;

当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.

所以f(x)在x=2处取得极小值.

若a≤12,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤12x-1<0,

所以f'(x)>0.

所以2不是f(x)的极小值点.

综上可知,a的取值范围是12,+∞.

2.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=p,p≤q,q,p>q.

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.

(2)①求F(x)的最小值m(a);

②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).

解：(1)由于a≥3,故当x≤1

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