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高中数学理科基础知识讲解《85直线、平面垂直的判定与性质》教学课件

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高中数学理科基础知识讲解《85直线、平面垂直的判定与性质》教学课件-PPT模板8.5　直线、平面垂直的判定与性质,1.直线与平面垂直任意m∩n=Oa⊥α,b⊂αa∥b,2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　　　　　,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理直二面角垂线交线l⊥α,3.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角.4.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的　　　　　　　　　　所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱　　　　的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角. 两个半平面垂直,直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.,1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“”.(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.(　　)(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.(　　)(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(　　)(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　)(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(　　)√,2.(2019四川成都高新区一模,4)已知直线m和平面α,β,若m⊂α,则“m⊥β”是“α⊥β”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A　解析:因为m⊂α,若m⊥β,得α⊥β,所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分条件,当m⊂α,若α⊥β,则m⊥β或m∥β或m与β相交,所以为不必要条件,即“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件,故选A.,3.如图所示,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(　　)A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDEC解析:∵AB=CB,且E是AC的中点,∴BE⊥AC,同理有DE⊥AC,而BE∩DE=E,∴AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC内,∴平面ABC⊥平面BDE.又AC在平面ADC内,∴平面ADC⊥平面BDE.故选C.,4.(2019山东潍坊三模,8)下列说法错误的是(　　)A.垂直于同一个平面的两条直线平行B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直D　解析:由线面垂直的性质定理可得选项A正确;由面面垂直的性质定理知选项B正确;由面面平行的判定定理知选项C正确;由直线与平面垂直的定义知,选项D错误.,5.(2019北京,文13)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:　　　　　. 若l⊥α,m∥α,则l⊥m　解析:将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l⊥α,m∥α,则l⊥m,正确;(2)如果l⊥α,l⊥m,则m∥α,不正确,有可能m在平面α内;(3)如果l⊥m,m∥α,则l⊥α,不正确,有可能l与α斜交、l∥α.故答案为:如果l⊥α,m∥α,则l⊥m.,证明空间线面垂直例1(2019山东聊城一模,18)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为D1B1的中点,AB=AD=2,AA1=2.(1)证明:CO⊥平面AB1D1;,思考证明线面垂直的常用方法有哪些? 解题心得证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.,对点训练1(2019湖北元月调研,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥PC,AD∥BC,AD⊥CD,且PC=BC=2AD=2CD=2,PA=2.(1)求证:PA⊥平面ABCD;,解:(1)证明:∵在底面ABCD中,AD∥BC,AD⊥CD,∴AB⊥AC;又∵AB⊥PC,AC∩PC=C,AC⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,∴AB⊥平面PAC,又∵PA⊂平面PAC,∴AB⊥PA.∵PA=AC=2,PC=2,∴PA⊥AC.又∵PA⊥AB,AB∩AC=A,AB⊂平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PA⊥平面ABCD.,证明:(1)过点C作CO⊥AA1,垂足为O,因为平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,所以CO⊥平面AA1B1B,故CO⊥OB,又因为CA=CB,CO=CO,∠COA=∠COB=90°,所以Rt△AOC≌Rt△BOC,故OA=OB,因为∠A1AB=45°,所以AA1⊥OB.又因为AA1⊥CO,所以AA1⊥平面BOC,故AA1⊥BC.证明空间两条直线垂直例2(2019山东潍坊一模,18)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,∠BAA1=45°,平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.(1)求证:AA1⊥BC;,思考证明空间两条直线垂直有哪些基本方法?解题心得1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系.(2)利用等腰三角形底边中线的性质.(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直线与平面垂直的性质.2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.,对点训练2(2019山西晋城二模,19)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°,AD=CD且BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求四棱锥C1-B1BD的体积.,(1)证明:由∠BAD=∠BCD=90°,AD=CD,易知△ABD≌△CBD.所以AB=CB,∠ADB=∠CDB.又AD=CD,所以AC⊥BD.因为BB1⊥平面ABCD,所以AC⊥BB1,所以AC⊥平面BB1D.又B1D⊂平面BB1D,所以AC⊥B1D.(2)解:因为CC1∥BB1,所以点C1到平面B1BD的距离与点C到平面B1BD的距离相等.又已知BB1=2AB=2,∠ADC=60°,,证明空间两个平面垂直例3(2019辽宁沈阳质检三)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB⊥底面ABCD,E为PC上的点,且BE⊥平面APC.(1)求证:平面PAD⊥平面PBC;,证明:(1)∵侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,四边形ABCD为正方形,∴BC⊥AB,BC⊂底面ABCD,∴BC⊥侧面PAB,又AP⊂侧面PAB,∴AP⊥BC.∵BE⊥平面APC,AP⊂平面APC,∴AP⊥BE,BC∩BE=B,BC,BE⊂平面PBC,∴AP⊥平面PBC,又AP⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面PBC.,思考证明面面垂直的常用方法有哪些?解题心得1.面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决.2.三种垂直关系的转化由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这一条件.,对点训练3(2019全国3,文19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.,(1)证明:由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,BE∩BC=B,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解:取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,DE∩EM=E,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.,垂直关系中的存在问题,解:(1)存在线段BC的中点E,使平面PBC⊥平面PDE,连接DE,PE,∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=1,DA=,∴BD=DC=2,∵E为BC的中点,∴BC⊥DE,∵PD⊥平面ABCD,∴BC⊥PD,∵DE∩PD=D,∴BC⊥平面PDE,∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PDE.,思考探索性问题的一般处理方法是什么?解题心得线面垂直中的存在问题同“平行关系中的存在问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,再给出符合要求的证明.,对点训练4如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD,DE⊥AB,沿DE将△AED折起到△A1ED的位置,连接A1B,A1C,M,N分别为A1C,BE的中点,如图2.(1)求证:DE⊥A1B.(2)求证:MN∥平面A1ED.(3)在棱A1B上是否存在一点G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.,(1)证明:∵在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD,DE⊥AB,沿DE将△AED折起到△A1ED的位置,∴DE⊥A1E,DE⊥BE,∵A1E∩BE=E,∴DE⊥平面A1BE,∵A1B⊂平面A1BE,∴DE丄A1B.(2)证明:取CD中点F,连接NF,MF,∵M,N分别为A1C,BE的中点,∴MF∥A1D,NF∥DE,又DE∩A1D=D,NF∩MF=F,DE⊂平面A1DE,A1D⊂平面A1DE,NF⊂平面MNF,MF⊂平面MNF,∴平面A1DE∥平面MNF.∴MN∥平面A1ED.,(3)解:取A1B的中点G,连接EG,∵A1E=BE,∴EG⊥A1B,由(1)知DE⊥平面A1BE,∵DE∥BC,∴BC⊥平面A1BE,∴EG⊥BC,又A1B∩BC=B,∴EG⊥平面A1BC.,1.转化思想:垂直关系的转化2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.,3.线面角、二面角求法根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲.也可用射影法:设斜线段AB在平面α内的射影为A'B',AB与α所成角为θ,,1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.,在高考立体几何题目中,证明线、面平行或垂直关系是极易被扣分的,原因是存在着逻辑推理的不严谨性,或者表述上的不严谨性.那么如何避免被扣分呢?需要对概念、公理、定理理解透彻.不要以主观臆断代替严密的科学论证.1.加强对基本概念理解.比如对异面直线的理解,两条直线不在同一个平面是简单的定义,如何才能不在同一个平面呢,哪些条件才能保证两条直线不在一个平面,只要直线不平行,并且不相交,那么就异面,对于不平行的条件,在平面几何中我们已经知道,如何能保证不相交呢,可以把其中一条直线放在一个平面,看另外一条直线和平面是否平行,这样对异面直线的概念就理解到位了.,2.加强对公理、定理应用条件的理解.比如线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.这个定理它是五个条件推出一个结论,哪五个条件?若平面α外的直线是a,α内的两条直线b,c相交于一点A,五个条件是:a⊥b,a⊥c,b在平面α内,c在平面α内,b和c相交于一个点A,五个条件推出了a⊥α,你要漏掉其中一个,便被扣分.再比如直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.它是三个条件推出一个结论.三个条件分别为:a在平面α外,b⊂α,a∥b,结论是a∥α,最容易漏掉的条件是:a在平面α外,有的同学自以为它明明在平面α外,我为什么还要写它!,谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。
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