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![高中数学理科基础知识讲解《74直接证明与间接证明》教学课件-PPT模板7.4 直接证明与间接证明,1.直接证明成立充分,2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出 ,因此说明假设错误,从而证明 的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.不成立矛盾原命题成立,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“”)(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( )(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( )(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.( )(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( )(5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.( )(6)证明不等式最合适的方法是分析法.( )√√,2.(2019山东菏泽期中)命题:“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)·(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”应用了( )A.分析法B.综合法C.综合法与分析法结合使用D.演绎法B 解析:在证明的过程中使用了平方差公式,以及同角的三角函数的关系式,符合综合法的定义,故证明过程使用了综合法.故选B.,>4.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设 . 三个内角都大于60°解析:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的对立面为“三个内角都大于60°”.,综合法的应用例1(1)设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.①求{an}和{bn}的通项公式;②设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*),(ⅰ)求Tn;,(1)解:①设等比数列{an}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故an=2n-1.设等差数列{bn}的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.所以,数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=n.,(2)证明:①由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得,a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1.即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.,思考综合法的适用题型是哪些?综合法证明问题是怎样实现的?解题心得1.综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.2.综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法,因此要保证前提条件正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确性.其过程一般是从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.,分析法的应用例2(2019吉林长春期末)已知非零向量a,b,且a⊥b,用分析法证明:即证a2+b2+2|a|·|b|≤2a2+2b2+4a·b.因为非零向量a,b,且a⊥b,所以a·b=0,即证2|a|·|b|≤a2+b2,即证(|a|-|b|)2≥0,显然成立.所以原不等式成立.,思考分析法的证明思路是什么,适用于何种题型?解题心得1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.,反证法的应用例3设{an}是公比为q的等比数列.(1)推导{an}的前n项和公式;(2)设q≠1,证明:数列{an+1}不是等比数列.,(1)解:设{an}的前n项和为Sn,则当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.,思考证明否定性问题的思路是什么? 解题心得对于含有否定概念的命题,直接证明不好证,但问题的反面比较具体易证,一般利用补集法或反证法解答证明.先假设肯定结论成立,然后根据有关的概念、定理、定义、推出与已知、公理、定理等有矛盾,从而说明原命题成立.,对点训练3已知函数f(x)=eax-ax-3(a≠0),(1)求f(x)的极值;(2)当a>0时,设,求证:曲线y=g(x)存在两条斜率为-1且不重合的切线.,(1)解:f'(x)=a·eax-a=a(eax-1)(a≠0,x∈R),令f'(x)=0,得x=0.①当a>0时,f'(x)与eax-1符号相同,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:②当a<0时,f'(x)与eax-1符号相反,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:综上,f(x)在x=0处取得极小值f(0)=-2.,(2)证明:g'(x)=eax-ax-3=f(x)(a>0,x∈R),故g'(x)=-1⇔f(x)=-1.因此,曲线y=g(x)在点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))处的切线斜率均为-1.下面,只需证明曲线y=g(x)在点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))处的切线不重合.曲线y=g(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2)处的切线方程为y-g(xi)=-(x-xi),即y=-x+g(xi)+xi.假设曲线y=g(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2)处的切线重合,则g(x2)+x2=g(x1)+x1.,令G(x)=g(x)+x,则G(x1)=G(x2),且G'(x)=g'(x)+1=f(x)+1.由(1)知,当x∈(x1,x2)时,f(x)<-1,故G'(x)<0.所以,G(x)在区间[x1,x2]上单调递减,于是有G(x1)>G(x2),这显然与假设矛盾.因此,曲线y=g(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2)处的切线不重合.,1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推理;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.,谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。](http://personal.wpscdn.cn/app/new-www-docer-com/img/loading-img-42.ffcbba5.gif)
