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![高中数学理科基础知识讲解《24幂函数与二次函数》教学课件-PPT模板2.4 幂函数与二次函数,1.幂函数(1)幂函数的定义(1)幂函数的定义:形如 (α∈)的函数称为幂函数,其中x是 ,α是 . (2)五种幂函数的图象y=xα自变量常数,(3)五种幂函数的性质{x|x∈,且x≠0}{y|y∈,且y≠0}x∈时,,x∈(-∞,0)时,减x∈(0,+∞)时,减,x∈(-∞,0)时,减,2.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式: ; 顶点式: ,其中 为顶点坐标; 零点式: ,其中 为二次函数的零点. f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(h,k)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)x1,x2,(2)二次函数的图象和性质,1.幂函数y=xα在第一象限的两个重要结论:(1)恒过点(1,1);(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.,√√,3.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.a<b<c.b<c<a.a<c<b解析:根据幂函数的性质,可知选.,4.(2019湖南张家界一中期末)已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-1,2].[-1,2].[2,5]解析:f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4.当x=2时,f(2)=4.由f(x)=-x2+4x=-5,得x=5或x=-1.所以要使f(x)在[m,5]上的值域是[-5,4],则-1≤m≤2.故选.5.已知α∈,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,则α= . -1解析:∵f(x)为奇函数,∴α=-1,1,3,又∵在(0,+∞)上递减,∴α=-1.,幂函数的图象和性质例1若幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( ),思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.2.幂函数的主要性质:(1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递.(3)当α<0时,幂函数的图象经过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.(4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凹;当0<α<1时,曲线上;当α<0时,曲线下凹.,对点训练1(2019宁夏银川一中模拟)幂函数(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( )A.-1B.0.1.2解析:因图象不过原点,且在第一象限下降,故m2-2m-3<0,即-1<m<3;由图象知函数是偶函数,故m2-2m-3为负偶数,将m=0,1,2分别代入,可知当m=1时,m2-2m-3=-4,故选.,求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式.,思考求二次函数的解析式时如何选取恰当的表达形式?解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.,对点训练2已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈).(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.解(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因为方程f(x)=0有且只有一个根,所以Δ=b2-4a=0,所以4a2-4a=0,所以a=1,所以b=2,所以f(x)=(x+1)2.即k≥6或k≤0,∴所求实数k的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).,二次函数的图象与性质(多考向)考向1 二次函数的单调性例3(2019浙江绍兴一中模拟)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是单调递减的,则实数a的取值范围是( )A.[-3,0)B.(-∞,-3].[-2,0].[-3,0]思考如何确定二次函数的单调性?,考向2 二次函数闭区间上的最值问题例4(2019河北唐山一中模拟)若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4,则a的值为 . 思考如何求含参数的二次函数在闭区间上的最值?,考向3 二次函数中的恒成立问题例5(1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 . (2)(2019北京101中学模拟)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是 . (-∞,-1)解析:(1)作出二次函数f(x)的草图,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,,(2)(方法1)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).(方法2)f(x)>2x+m等价于m<x2-3x+1,令g(x)=x2-3x+1,其图象的对称轴x=>1,所以g(x)在区间[-1,1]上递减,则g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(x)min=g(1)=-1,所以m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).,考向4 与二次函数有关的存在性问题例6已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是 . ,解题心得1.二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此,研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,当参数易分离时一般采用分离参数.,4.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[a,b],使得g(x1)=f(x0),求g(x)中参数的取值范围,说明g(x1)在[a,b]上的取值范围是f(x0)在[a,b]上的取值范围的子集,即,对点训练3(1)(2019河北保定一中模拟)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx).f(bx)>f(cx).与x有关,不确定A,(3)(2019河南八市重点高中联考二,11)已知f(x)=x2+2x+1+a,∀x∈,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )(4)(2019东北育才中学模拟)已知在(-∞,1]上单调递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是( )BB,解析:(1)由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴b=2.又f(0)=3,∴c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故选A.,(2)设x<0,则-x>0.有f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2.又∵f(-x)=f(x),∴当x<0时,f(x)=(x+1)2,依题意,n≤f(x)≤m恒成立,则n≤0,m≥1,即m-n≥1,故m-n的最小值为1.(3)设t=f(x)=(x+1)2+a≥a,∴f(t)≥0对任意t≥a恒成立,即(t+1)2+a≥0对任意t∈[a,+∞)都成立,当a≤-1时,f(t)min=f(-1)=a,即a≥0,与a≤-1矛盾;,(4)由于f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t,又y=f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以t≥1.则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需1-(-t2+1)≤2,,1.幂函数y=xα(α∈)的图象的特征:当α>0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图象逐渐上升;当α<0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图象逐渐下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)≥g(a)对于x∈恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.,1.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.如果幂函数与坐标轴有交点,那么交点一定是原点.2.对于函数y=ax2+bx+c,若它是二次函数,则必须满足a≠0.当题目条件中未说明a≠0时,就要分a=0和a≠0两种情况讨论.,例1关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的范围.(1)有两个正根;(2)有两个负根;(3)有一正一负根.思考对于(1)(2)(3),都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?,例2关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的范围.(1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;(3)一个根小于2,一个根大于4;(4)两个根都在(0,2)内.思考对于此题,韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?,解:令f(x)=x2+(m-3)x+m,(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-2<0,解得m<1.(2)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,,(4)若方程x2+(m-3)x+m=0的两个根都在(0,2)内,则,例3将例2的问题一般化,即关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)满足下列条件,请画出方程对应函数的图象,列出满足条件的不等式.(1)一个根在(m,n),另一根在(p,q);(2)两个根都在(m,n).解:设f(x)=ax2+bx+c(a>0),满足题意的图象如图,则,归纳小结设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0),谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。](http://personal.wpscdn.cn/app/new-www-docer-com/img/loading-img-42.ffcbba5.gif)
