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![高中数学理科基础知识讲解《23函数的奇偶性与周期性》教学课件-PPT模板2.3 函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点,2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:①T≠0;② 对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数,1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,2.周期性的几个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a>0,且为常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)=(m∈R且m≠0),则T=2a;(3)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;一般地,若f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|;(4)若f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|;(5)若f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;,1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“”.(1)函数y=x2在区间(0,+∞)内是偶函数.( )(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( )(3)若函数y=f(x-2)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.( )(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.( )(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)内是减函数,则f(x)在(0,+∞)内是增函数.( )(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.( )√√,2.(2019云南玉溪一中二模,4)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )A.y=x3.y=2|x|.y=cosx,3.(2019全国2,文6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )A.e-x-1.e-x+1.-e-x-1.-e-x+1解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选.,4.(2019山师附中考前模拟,3)把满足条件(ⅰ)∀x∈R,f(-x)=f(x),(ⅱ)∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x1)=-f(x2)的函数称为“函数”,下列函数是“函数”的有( )①y=x2+|x|;②y=x3;③y=ex+e-x;④y=cosx;⑤y=xsinx.A.1个.2个.3个.4个解析:满足(ⅰ)(ⅱ)的函数是偶函数,且值域关于原点对称,④⑤满足,选.,5.(2019全国2,理14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,则a= . -3解析:∵ln2∈(0,1),f(ln2)=8,f(x)是奇函数,∴f(-ln2)=-8.∵当x<0时,f(x)=-eax,∴f(-ln2)=-e-aln2=-8,∴e-aln2=8,∴-aln2=ln8,∴-a=3,∴a=-3.,函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性:,(2)由题意知函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,思考判断函数的奇偶性要注意什么?解题心得判断函数的奇偶性要注意两点:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.,对点训练1判断函数的奇偶性:f(x)=x3-x.解:由题意知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.,函数奇偶性的应用例2(1)(2019陕西西安中学模拟)设f(x)-x2=g(x),x∈R,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为( )A.g(x)=x3.g(x)=cosx.g(x)=1+x.g(x)=xex182,解析:(1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项中的函数为偶函数,故选.(2)因为函数y=f(x+1)-2为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,关于点(1,2)对称,所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称,则(x1+x2+…+x6)+(y1+y2+…+y6)=23+43=18.故答案为18.,思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.,对点训练2(1)(2019河北衡水中学一模,5)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若x>0时,f(x)=xlnx,则x<0时,f(x)=( )A.xlnx.xln(-x).-xlnx.-xln(-x)1,解析:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-xln(-x).又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=xln(-x).故选.,函数周期性的应用例3(1)(2018全国2,理12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )A.-50.0.50(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=.若当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)= . 2.5,解析:(1)∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.∴函数f(x)的周期为4.∴f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).∵2≤2.5≤3,∴f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.,解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.,对点训练3(1)(2019黑龙江哈尔滨三中调研,8)函数f(x)满足对任意的实数x都有f(x+2)=-f(x),且f(1)=-1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)的值为( )A.1.-1.-2(2)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2017)+f(2018)的值为( )A.-2.-1.0.1,解析:(1)∵函数f(x)满足对任意的实数x都有f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∵f(1)=-1,f(2)=-2,∴f(3)=f(1+2)=-f(1)=1,f(4)=f(2+2)=-f(2)=2,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=504[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=-1-2+1=-2.故选.(2)由题意,f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x)=-f(-x),∴f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),∴f(x)的周期为4.∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,∴f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=1+0=1.,函数性质的综合应用例4(1)(2019山西晋城二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+5)=f(x-3),如果当x∈[0,4)时,f(x)=log2(x+2),则f(766)=( )A.3.-3.-2(2)(2019山东聊城一模,8)设函数f(x)=+a,若f(x)为奇函数,则不等式f(x)>1的解集为( )A.(0,1).(-∞,ln3).(0,ln3).(0,2),解析:(1)由f(x+5)=f(x-3),得f(x-3+8)=f(x-3),所以f(x+8)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数,f(766)=f(968-2)=f(-2),f(-2)=f(2)=log24=2.,思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.,对点训练4(1)(2019山东济宁一模,5)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),若f(1)=9,则f(2019)=( )A.-9.9.-3.0AA,解析:(1)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),又由f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),所以f(x-1)=-f(x+1),由此可得f(x)=-f(x+2)=f(x+4),即函数f(x)是周期为4的周期函数,则f(2019)=f(-1+5054)=f(-1)=-f(1)=-9.故选A.,所以当x≤1时y=f(x)是减函数.又因为f(x+1)为偶函数,所以y=f(x)关于直线x=1对称,所以当x>1时函数y=f(x)是增函数.又因为f(3)=1,所以有f(-1)=1,当log2x≤1,即当0<x≤2时,f(log2x)<1⇒f(log2x)<f(-1)⇒log2x>-1,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.,4.求函数周期的方法,1.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.,谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。](http://personal.wpscdn.cn/app/new-www-docer-com/img/loading-img-42.ffcbba5.gif)
