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高中数学理科专题讲解《破解解题密码——排列、组合问题的解题策略》教学课件

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高中数学理科专题讲解《破解解题密码——排列、组合问题的解题策略》教学课件-PPT模板指点迷津(五)　破解解题密码——排列、组合问题的解题策略,破解解题密码——排列、组合问题的解题策略排列、组合一直是学习中的难点,通过我们平时做的练习,不难发现排列、组合问题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证.在高考中极易丢分.,策略一　特殊元素与特殊位置优先策略考情分析位置分析法和元素分析法是解决排列、组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再出来其他元素.若以位置分析为主需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,若多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时,兼顾其他约束条件.,例1(2019黑龙江齐齐哈尔模拟,5)若从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字,组成没有重复数字的三位偶数,则这样的三位数一共有(　　)A.20个B.48个C.52个D.120个思路点拨由于0不能在首位数字,则分2种情况讨论:①若0在个位,此时0一定不在首位,由排列公式即可得此时三位偶数的数目;②若0不在个位,要排除0在首位的可能,由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目,综合2种情况,由分类计数原理计算可得答案.,解析:根据题意,分2种情况讨论:①若0在个位,此时只须在1,2,3,4,5中任取2个数字,作为十位和百位数字即可,有=20个没有重复数字的三位偶数;②若0不在个位,此时必须在2或4中任取1个,作为个位数字,有2种取法,0不能作为百位数字,则百位数字有4种取法,十位数字也有4种取法,此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数,综合可得,共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数.故选C.解题心得解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质,对于每一类还要注意分步完成.,策略二　相邻元素捆绑策略例2(2019重庆江津中学、合川中学等七校联考,6)明年的今天,同学们已经毕业离校了,在离校之前,有三位同学要与语文、数学两位老师合影留念,则这两位老师必须相邻且不站两端的站法有(　　)种A.12B.24C.36D.48思路点拨由题意,把两位老师看出一个元素,采用插空法,即可求解.解题心得关于相邻问题,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决,即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.,策略三　不相邻问题插空策略例3(2019重庆云阳模拟,6)若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排拍照,则其中任意2名教师不相邻的站法有　　　　　种.(用数字作答) 思路点拨先将4名演讲比赛获奖学生全排列,再根据不相邻问题插空位原则,安排三位指导教师,由分步计数原理即可求得答案.答案:1440则有24×60=1440种符合题意的站法.故答案为1440.解题心得对于不相邻问题,可以把没有位置要求的元素进行排列,再把不相邻的元素插入队列的中间或两端的空隙中.,策略四　定序问题倍缩、空位插入策略例4(经典例题)7人排队,其中甲、乙、丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?思路点拨全排列除去顺序或把甲乙丙站好,再把剩余4人插入队列,或放7把椅子,让其他人坐好,再让甲乙丙按顺序入座.方法三　先让甲、乙、丙排队,有1种排法,再把其余4人分别插入,不同排法的种数为4×5×6×7=840.故共有840种不同的排法.,解题心得对于定序问题可以倍缩法,也可以转化为占为插空模型处理,只要选出有序元素所占的位置即可,相同元素的排列一般也按定序排列的方法处理.,策略五　重排问题求幂策略例5(2019江西吉安二中模拟,6)某校科技大楼电子阅览室在第8层,从下一层到上一层,每层均有2个楼梯,则由一楼上到电子阅览室的不同走法共有(　　)A.29种B.28种C.27种D.82种思路点拨直接利用分步计数乘法原理即可得结果.解析:因为从一楼到二楼有2种走法,从二楼到三楼有2种走法,…,从一楼到八楼分7步进行,每步都有2种不同的走法,所以根据分步计数乘法原理可得由一楼上到电子阅览室的不同走法共有27种.故选C.解题心得允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置约束,可以逐一安排各个元素的位置,但一个元素只能安排一个位置,且不能同时安排在两个位置上.一般地,n个不同的元素没有限制的安排在m个位置上的排列数为mn种.,策略六　分排问题直排策略例6(2019河南郑州外国语学校模拟,8)有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这两人不左右相邻,那么不同的排法种数是(　　)A.234B.346C.350D.363,解题心得一般地,对于元素分成多排的排列问题,可先转化成一排考虑,再分排研究.,策略七　元素相同问题隔板策略隔板法模型的构建是解决排列、组合中一类分装组合问题,它是求相同元素名额分配方案种数的一种处理策略例7(1)(2019安徽泗县模拟,8)从A、B、C、D4个班级中选10人组成卫生检查小组,每班至少选一人,每班人数的不同情况有多少种(　　)A.42B.56C.84D.168(2)将十个相同的小球装入编号为1、2、3的三个盒子(每次要把十个球装完)中,要求每个盒子里的个数不少于盒子的编号数,则这样的装法种数为(　　)A.9B.12C.15D.18,(3)把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里,使得第i个盒子中至少有i个球(i=1,2,…,10),则不同放法的总数是(　　)(4)8个相同的小球分别放入4个不同的盒子中,每盒可空,共有(　　)种不同的放法A.165B.56C.35D.20答案:(1)C　(2)C　(3)D　(4)A,解析:(1)将10个人排成一排,然后从中间形成的9个空中选3个,分别放入一个隔板,即可将10个人分为4个部分,且每部分至少1个人,由此可得每班人数的不同情况有(2)根据题意,先在编号为2、3的三个盒子中分别放入1、2个小球,编号为1的盒子里不放;再将剩下的7个小球放入3个盒子里,每个盒子里至少一个,分析可得,7个小球排好,有6个空位,在6个空位中任选2个,插入挡板,共=15种放法,即可得符合题目要求的放法共15种.故选C.(3)先在第i个盒里放入i个球,i=1,2,…,10,即第1个盒里放1个球,第2个盒里放2个球,…,这时共放了1+2+…+10=55个球,还余下1995-55=1940个球.故转化为把1940个球任意放入10个盒子里(允许有的盒子里不放球).把这1940个球用9块隔板隔开,每一种隔法就是一种球的放法,1940个球连同9块隔板共占有1949个位置,相当于从1949个位置中选9个位置放隔板,有,(4)首先设想每个盒子内放入1个小球,共用去4个小球,(添加4个这样的小球)将问题转化为把12个相同的小球分装到4个不同的盒子中求不同的放法的问题,利用隔板法,把12个小球排成一列,在11个空隙中插入3个隔板,即得不同的放法有=156种.故选A.解题心得将n个相同的元素分成m份(n,m为整数),每份至少一个元素,可以用m-1个隔板,插入n个元素排成一排形成的n-1个空隙中,所有分法为,策略八　小集团问题先整体后局部策略例8(2019广东揭阳三中模拟,8)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有(　　)A.24种B.28种C.36种D.48种思路点拨由题意知先使五个人的全排列,共有种结果,去掉相同颜色衣服的人都相邻的情况,再去掉仅穿蓝色衣服的人的相邻和仅穿穿黄色衣服的人相邻两种情况,从而求得结果.,答案:D解题心得小集团排列问题,先整体排列,后局部排列,再结合其他策略进行处理.,策略九　正难则反总体淘汰策略例9用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)A.243B.252C.261D.279解析:由分步乘法原理知,用0,1,…,9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900,组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648,因此组成有重复数字的三位数共有900-648=252.故选B.解题心得有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简单易求,分类情况也较简单明确,此时可以先求出它的反面,在从整体中淘汰.,策略十　排组混合问题先选后排策略例10(2019湖南三湘名校高三二联,9)将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级,每个班级至少一位老师,则共有分配方案(　　)A.81种B.256种C.24种D.36种思路点拨分配的方法分为两步求解,先将四位老师分为三组,再分到三个班,由乘法原理求解即可计算出答案.答案:D解题心得排列组合的应用问题,一般按先选再排,先分组再分配的处理原则.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.,策略十一　平均分组除法策略例11(2019江西赣州一中高三模拟,7)某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”“吉他协会”等五个社团,若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加,则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法种数为(　　)A.3600B.1080C.1440D.2520思路点拨先分成3组与4组两类,再分组分配下去,均分问题要除序后再分配.,解析:因为每位同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加,所以可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团,或除“演讲团”外的四个社团中的三个社团,可以分成两类:综上,不同的参加方法种数为1080+360=1440种.故选C.解题心得平均分成的组,不管它顺序如何,都是一种情况,所以分组以后一定要除以(n为均分组数),避免重复计数.,策略十二　合理分类与分步策略例12(2019天津南开中学模拟,8)用五种不同颜色给三棱台ABC-DEF的六个顶点染色,要求每个点染一种颜色,且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有　　　　　种. 思路点拨分两步来进行,先涂A,B,C,再涂D,E,F,然后分若5种颜色都用上、若5种颜色只用4种、若5种颜色只用3种这三种情况,分别求得结果,再相加,即可得结果.答案:1920,解题心得解决带约束条件的排列、组合问题,可按元素的性质进行分类,按事情发展的过程进行分步,应做到标准明确,分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于整个解题过程,不要一步一个标准.,策略十三　构造模型策略例13(1)方程x+y+z=10的正整数解的组数为(　　)A.9B.12C.15D.18(2)某栋楼从2楼到3楼共10个台阶,上楼可以一步上一个台阶,也可以一步上两个台阶,若规定从2楼到3楼8步走完,则上楼方法有(　　)种A.14种B.16种C.21种D.28种,解析:(1)设方程x+y+z=10的正整数解依次为x1、x2、x3,则x1+x2+x3=10(x1≥1,x2≥2,x3≥3).记y1=x1,y2=x2-1,y3=x3-2,则y1+y2+y3=7(y1≥1,y2≥1,y3≥1).于是,问题转化为求方程y1+y2+y3=7的正整数解的组数.进而将问题转化为将7个相同的小球装入3个编号分别为1、2、3的盒子内,每个盒子中至少一个的问题,由隔板法易知其组数为=15.故选C.答案:(1)C　(2)D,解题心得一些不易理解的排列、组合问题,如果能转化成非常熟悉的模型,如占位填空模型、组数模型、排队模型、装盒模型,相邻模型等可使问题直观,容易解决.,策略十四　实际操作穷举策略例14(1)将15个颜色、大小完全相同的球全部放入编号为1、2和3的三个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号数,则不同的放球方法有(　　)A.15种B.182种C.91种D.120种(2)有红、黄、蓝色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有(　　)种不同的取法A.150种B.180种C.120种D.100种答案:(1)B　(2)A,解析:(1)先放1,2,3的话,那么还剩下9个球,9个球放到3个不同的盒子里,情况有:0,0,9,分别在1,2,3号盒子中的任意一个中放9个,共3种情况;0,1,8,分别在1,2,3号盒子中的任意两个中放8个和1个,共6种情况;0,2,7,分别在1,2,3号盒子中的任意两个中放2个和7个,共6种情况;1,1,7分别在1,2,3号盒子中的任意两个中放一个,共3种情况;依次讨论可得还有以下几种情况1,2,6;1,3,5;1,4,4;2,2,5;2,3,4;2,5,2;2,6,1;3,3,3;3,6,0;….所以共有91种.故选B.,(2)解题心得对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果,一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.,策略十五　分解与合成策略例1530030能被多少个不同的偶数整除.解:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13.依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,解题心得分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略.,策略十六　化归策略例1625人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?解:将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从3×3,解题心得处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进一步解决原来的问题.,策略十七　数字排序问题查字典策略例17由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数?解题心得数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数.,本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。
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